A4. Equations diophantiennes
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S est un ensemble de r ≥ 2 nombres entiers strictement positifs distincts :{a1,a2,….,ar}. Pour tout sous-ensemble A non vide{ai,aj,….ak} de S, on calcule le produit(1) de ses éléments, soit p(A) = ai.aj.....ak. On désigne par m la moyenne arithmétique de ces produits calculés sur tous les sous-ensembles non vides de S. m est un nombre entier qui obéit à la double inégalité 5 < m < 10. On ajoute à S un entier ar+1 strictement positif et distinct des r éléments de S. On obtient l’ensemble S’ de r + 1 éléments à partir duquel on calcule comme précédemment la moyenne arithmétique m’ équivalente à m. On obtient m’ = m2. Q1 Déterminer r et les entiers qui composent S. Q2 Démontrer qu’il existe au moins un entier ar+2 qui ajouté à S’ donne un ensemble S’’ de termes strictement positifs distincts tel que la moyenne arithmétique m’’ calculée dans les mêmes conditions que m et m’ est encore un nombre entier. (1)Nota : si A : {ai}, le produit est réduit à l’élément ai et p(A) = ai.
Kamal Benmarouf, Joël Benoist, Daniel Collignon, Maxime Cuenot, Thérèse Eveilleau, Claude Felloneau, Francesco Franzosi, Bruno Grebille, Marc Humery, Patrick Kitabgi, Jean Moreau de Saint Martin, Pierre Henri Palmade, Gaston Parrour, Christian Romon, Pierrick Verdier et Bernard Vignes ont résolu le problème.
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