A551. Deux vérifications,deux démonstrations Imprimer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n
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Si besoin avec l’aide d’un automate,vérifier qu’on sait trouver :
1)au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de 2013. [*]
2)au moins un entier n tel que la somme desn petit n possible.[*]
Démontrer que :
1) pour tout entier naturel m, on sait trouver au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de m.[***]
2) par un choix convenable de l’entier n, la somme des chiffres de 2n écrit dans le système décimal peut être rendue supérieure à n’importe quel entier k fixé à l’avance.[****]
Nota : bien entendu, le lecteur est libre de faire les démonstrations avant les vérifications.


 Solution


David Amar,Jean Drabbe,Jean Moreau de Saint Martin,Bruno Langlois,Pierre Henri Palmade,Paul Voyer et Antoine Verroken ont résolu le problème.
Bruno Langlois nous a adressé un article rédigé il y a quelques années dans la RMS(anciennement la Revue de Mathématiques Spéciales bien connue des taupins)et qui donne divers résultats sur l'écriture décimale des termes de certaines suites d'entiers. La somme de chiffres de 2n y est traitée comme un cas partiulier.