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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A551. Deux vérifications,deux démonstrations Imprimer Envoyer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n
calculator_edit.png computer.png  

Si besoin avec l’aide d’un automate,vérifier qu’on sait trouver :
1)au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de 2013. [*]
2)au moins un entier n tel que la somme desn petit n possible.[*]
Démontrer que :
1) pour tout entier naturel m, on sait trouver au moins un entier n tel que 2n + n est un multiple de m.[***]
2) par un choix convenable de l’entier n, la somme des chiffres de 2n écrit dans le système décimal peut être rendue supérieure à n’importe quel entier k fixé à l’avance.[****]
Nota : bien entendu, le lecteur est libre de faire les démonstrations avant les vérifications.


Solution

David Amar,Jean Drabbe,Jean Moreau de Saint Martin,Bruno Langlois,Pierre Henri Palmade,Paul Voyer et Antoine Verroken ont résolu le problème.
Bruno Langlois nous a adressé un article rédigé il y a quelques années dans la RMS(anciennement la Revue de Mathématiques Spéciales bien connue des taupins)et qui donne divers résultats sur l'écriture décimale des termes de certaines suites d'entiers. La somme de chiffres de 2n y est traitée comme un cas partiulier.
 
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