A516. Des sommes bien encadrées Imprimer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

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Démontrer que pour tout n ≥2, la somme des n premiers nombres premiers (2,3,5,7,11,etc...)est comprise entre n2 et n3 et celle de leurs carrés entre  n3 et n4.
Pour les plus courageux : pour tout entier k > 0 fixé à l’avance, est-il vrai qu’à partir d’un certain rang nk , pour tout n > nk , la somme des puissances d’ordre k des n premiers nombres premiers est comprise entre nk+1 et  nk+2 ?

 Solution


Comme l'ont remarqué plusieurs lecteurs, la résolution de ce problème suppose admises des propriétés sur le comportement asymptotique des nombres premiers. Il existe une approximation bien connue du n-ième nombre premier pn ≈ nLn(n) mais elle ne suffit pas pour démontrer que la somme des puissances d'ordre k des n premiers nombres premeirs est <nk+2.Il faut des encadrements plus précis tels que ceux décrits par pdfPierre Dusart, par exemple celui obtenu à partir du théorème de Rosser: Ln(n) + Ln(Ln(n) - 1 < pn/n < Ln(n) + Ln(Ln(n)) pour n≥ 6.
pdfMichel Lafond,pdfPatrick Gordon,pdfMarc Humery,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfGaston Parrour,pdfPaul Voyer et pdfAntoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème en faisant généralement appel aux propriétés asymptotiques de pn.