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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n A516. Des sommes bien encadrées
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n A516. Des sommes bien encadrées
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| A516. Des sommes bien encadrées |
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| A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n |
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Démontrer que pour tout n ≥2, la somme des n premiers nombres premiers (2,3,5,7,11,etc...)est comprise entre n2 et n3 et celle de leurs carrés entre n3 et n4. Comme l'ont remarqué plusieurs lecteurs, la résolution de ce problème suppose admises des propriétés sur le comportement asymptotique des nombres premiers. Il existe une approximation bien connue du n-ième nombre premier pn ≈ nLn(n) mais elle ne suffit pas pour démontrer que la somme des puissances d'ordre k des n premiers nombres premeirs est <nk+2.Il faut des encadrements plus précis tels que ceux décrits par  Pierre Dusart, par exemple celui obtenu à partir du théorème de Rosser: Ln(n) + Ln(Ln(n) - 1 < pn/n < Ln(n) + Ln(Ln(n)) pour n≥ 6.Michel Lafond,Patrick Gordon,Marc Humery,Jean Moreau de Saint Martin,Gaston Parrour,Paul Voyer et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème en faisant généralement appel aux propriétés asymptotiques de pn. |
