Enigme proposée par Jean Moreau de Saint Martin

Quel que soit l’entier k ≥ 1, on sait que pour tout entier n≥1, les entiers (n + 1)^k et n^k n’ont pas de facteur commun > 1.
Montrer que pour k prenant successivement les valeurs 3,5 et 7 on sait trouver au moins un entier n > 0 tel que les entiers (n + 1)^k+ k et n^k + k ont un facteur commun > 1.