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A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n
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On considère la suite des entiers de terme général a(n) pour n = 0,1,2,3,…. définie par a(0) =1, a(1) = 0,
a(2) = 1, a(3) = k et pour n ≥ 2 par la relation de récurrence a(n + 2) – a(n ‒ 2) = 18(a(n + 1) – a(n ‒ 1)).
Déterminer k de sorte que a(n) est un carré parfait pour tout n > 3.
Solution
 Baphomet LeChat,Pierre Renfer,Bruno Langlois,Daniel Collignon,Jean Moreau de Saint Martin,Saturnino Campo Ruiz,Pierrick Verdier,Pierre Henri Palmade,Gaston Parrour,Maurice Bauval,Thérèse Eveilleau et Marc Humery ont obtenu les deux valeurs possibles de k = 0 et k = 16, la démonstration de leur unicité ést donnée par plusieurs lecteurs parmi les premiers nommés.
La source de ce problème est Titu Andreescu,mathématicien d’origine roumaine installé aux Etats-Unis depuis 1990 et longtemps entraîneur en chef de l'équipe américaine des Olympiades internationales de mathématiques.Il a proposé dans la revue Maths Horizons (Volume 8 - 2000-2001) l'énoncé suivant : avec a(0) = 1, a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 16 et la même relation de récurrence, démontrer que a(n) est un carré parfait pour tout n >3.L'unicité des valeurs de k n'était pas à démontrer.
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