Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
A5914. La faiseuse de beaux carrés parfaits Imprimer Envoyer
A5. Carrés, cubes, puissances d'ordre n

calculator_edit.png  

On considère la suite des entiers de terme général a(n) pour n = 0,1,2,3,…. définie par a(0) =1, a(1) = 0,
a(2) = 1, a(3) = k et pour n ≥ 2  par la relation de récurrence a(n + 2) – a(n ‒ 2) = 18(a(n + 1) – a(n ‒ 1)).
Déterminer k de sorte que a(n) est un carré parfait pour tout n > 3.

Solution

pdfBaphomet LeChat,pdfPierre Renfer,pdfBruno Langlois,pdfDaniel Collignon,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfSaturnino Campo Ruiz,pdfPierrick Verdier,pdfPierre Henri Palmade,pdfGaston Parrour,pdfMaurice Bauval,pdfThérèse Eveilleau et pdfMarc Humery ont obtenu les deux valeurs possibles de k = 0 et k = 16, la démonstration de leur unicité ést donnée par plusieurs lecteurs parmi les premiers nommés.
La source de ce problème est pdfTitu Andreescu,mathématicien d’origine roumaine installé aux Etats-Unis depuis 1990 et longtemps entraîneur en chef de l'équipe américaine des Olympiades internationales de mathématiques.Il a proposé dans la revue Maths Horizons (Volume 8 - 2000-2001) l'énoncé suivant : avec a(0) = 1, a(1) = 0, a(2) = 1, a(3) = 16 et la même relation de récurrence, démontrer que a(n) est un carré parfait pour tout n >3.L'unicité des valeurs de k n'était pas à démontrer.


 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional