Trouver une suite S la plus courte possible de k entiers strictement positifs distincts  a_i , i = 1,2,..,k telle que :
- les entiers 1,2,3 et 4 pas nécessairement dans cet ordre appartiennent à S,
- pour tout n, 1 ≤ n ≤ k,   Î a_i = a₁a₂...a_i...a_n  s’écrit comme la puissance n^ième  d’un entier, à savoir : a₁.a₂ est un carré parfait , a₁.a₂.a₃ est un cube parfait,…a₁.a₂..a_k est une puissance k-ième d’un entier.

Pour les plus courageux ; prouver qu’on sait toujours construire une suite infinie d’entiers strictement positifs de sorte que tout entier strictement positif apparaît exactement une fois dans la suite et pour tout entier n > 1, Î a_i = a₁a₂...a_i...a_n  s’écrit comme la puissance n^ième  d’un entier

 

Source : Animath 2021 Exercices sur la théorie des nombres.

 

 Solution