Plat n°1
Prouver qu’il existe une infinité de couples d’entiers strictement positifs (m,n) tels que  4²⁰²⁴ + 4^m + 4ⁿ est un carré parfait.
Plat n°2
Soit un ensemble E de 2²⁰²⁴ entiers tous strictement positifs. Prouver qu’il est toujours possible de choisir un sous-ensemble de E de 2²⁰²³ termes dont la somme est divisible par 2²⁰²³.
Plat n°3
Pour n = 1,2,3,… on considère la suite S de terme général u_n= ⌊(  )²⌋ avec ⌊x⌋ qui désigne la partie entière par défaut de x. Pour quelles valeurs de l’entier k, les entiers 2024^k appartiennent-ils à S ?
Plat n°4
Pour tout entier k positif, f₁(k) désigne le carré de la somme des chiffres de k. Par exemple f₁(395) = 289.
Pour tout entier n > 1, soit f_n(k) = f₁(f_n-1(k)). Calculer f2₀₂₄(2²⁰²⁴)

Nota : Le lecteur peut choisir tout ou partie des plats proposés

 Solution