G141. Le choix du bon numéro Imprimer
G1. Calcul des probabilités

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Puce a écrit 8 entiers distincts sur 8 cartes qu’il met dans un chapeau. Le plus grand de ces entiers est N. Zig qui n’a aucune idée de l’amplitude de l’intervalle à l’intérieur duquel se situent les entiers, a pour objectif de trouver N. Pour ce faire, il a le droit de tirer les cartes du chapeau une par une. Il doit déclarer la valeur de N immédiatement après avoir tiré une carte sans pouvoir déclarer l’un quelconque des nombres obtenus lors des tirages antérieurs. Montrer qu’il dispose d’une méthode qui lui permet d’annoncer la valeur de N avec plus de 40 chances sur 100.
Généralisation avec 2016 entiers . Montrer que la probabilité de succès de Zig est supérieure à 35 chances sur 100.


 Solution

pdfFabien Gigante,pdfDominique Chesneau,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfMichel Lafond,pdfJacques Guitonneau,pdfPierre Henri Palmade,pdfPaul Voyer,pdfFrancesco Franzosi, pdfNicolas Sigler et Thérèse Eveilleau ont résolu le problème et trouvé la bonne méthode aussi bien avec 8 cartes ou 2016 cartes ou un nombre n quelconque de cartes dans le chapeau.
Par ailleurs Thérèse Eveilleau sur son site Bienvenue en mathématiques magiques a créé plusieurs animations très instructives qui permettent de trouver la bonne méthode par des expérimentations successives et de simuler les chances d'obtenir le bon numéro selon le rang du tirage choisi par Zig pour déclarer la valeur de N.

Nota: ce problème est une variante d'un problème classique du calcul des probabilités et de la théorie de la décision bien connu en langue anglaise sous différents noms: Secretary problem, Sultan's dowry problem,etc..Les liens correspondants sont donnés par Thérèse Eveilleau en annexe de ses animations.