G193. Progressions aléatoires Imprimer
G1. Calcul des probabilités

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Zig met dans une urne n boules numérotées 1,2,3,...n puis il effectue trois tirages successifs d'une boule avec remise. Il constate qu'il a exactement une chance sur neuf pour que les trois numéros mis dans l'ordre croissant  forment une progression arithmétique (de raison éventuellement nulle). En déduire la probabilité qu'il obtienne une progression arithmétique en réalisant exactement la même expérience avec une urne qui contient 2n + 1 boules numérotées 1,2,3,...,2n + 1.

 Solution



Une fois n'est pas coutume, ce problème de la rubrique "Probabilités" a attiré la curiosité de nombreux lecteurs.
La probabilité d'obtenir trois numéros formant une progression arithmétique est égale à:
 (3n2 -4n)/2n3 si n est pair
et (3n2 - 4n + 3) /2n3 si n est impair.
Cette probabilité prend la valeur 1/9 pour la seule valeur  n = 12 boules.
Avec une urne de 2n + 1 = 25 boules, la probabilité demandée est alors égale à 889/15625

Par ordre alphabétique: pdfJoël Benoist,pdfDaniel Collignon,pdfThérèse Eveilleau,pdfClaude Felloneau,pdfFrancesco Franzosi,pdfJacques Frédéric,pdfFabien Gigante,pdfPatrick Gordon,pdfBernard Grosjean,pdfJacques Guitonneau,pdfMichel Lafond,pdfJean-Louis Legrand,pdfJean Moreau de Saint Martin,pdfEmmanuel Moreau,pdfPierre Henri Palmade,pdfPierre Renfer,pdfGwenaël Robert et pdfAntoine Verroken ont résolu le problème.