En vue de la prochaine Convention des Jeunes Mathématiciens en herbe, Alice, Bernard, Caroline et Damien préparent un exposé sur la théorie des ensembles illustré avec des diagrammes de Venn. Il ne leur reste plus qu’à déterminer la courbe fermée avec laquelle ces diagrammes seront représentés.

Pour ce faire chacun d’eux choisit une courbe parmi l’ensemble des dix courbes fermées convexes : {cercle, ellipse, triangle, carré, pentagone, hexagone, heptagone, octogone, ennéagone ,décagone} puis trace sur une feuille de papier un, puis deux, puis trois etc…exemplaires de cette courbe en annonçant à chaque fois le nombre maximum de régions distinctes du plan obtenues par chevauchement de ces courbes.


Par exemple, si Alice retient le cercle, elle annonce 2 régions avec le tracé d’un premier cercle puis 4 régions au maximum avec le tracé d’un deuxième cercle qui chevauche en partie le premier, puis 8 régions (voir diagramme ci-contre)….

A un moment donné, alors que chacun d’eux  a tracé un nombre d’exemplaires de sa courbe différent de ses voisins et inférieur à 10, les quatre mathématiciens en herbe annoncent le même entier N de régions.
Déterminer N et les quatre familles de courbes qui ont été tracées.