Il est bien connu que dans tout triangle les trois hauteurs issues des sommets ainsi que les trois médianes et les trois bissectrices sont concourantes.
Puce annonce fièrement à Zig : « J’ai dessiné un triangle ABC non équilatéral dans lequel la médiane issue de A, la hauteur issue de B et la bissectrice issue de C sont concourantes ».
« Rien de plus banal, lui répond Zig, il en existe une infinité qui sont constructibles à la règle et au compas ».
« Certes, lui rétorque Puce, mais le mien est unique avec les caractéristiques suivantes :
1) les longueurs de ses côtés s’expriment exactement en nombres entiers de centimètres,
2) la longueur du côté opposé au sommet C est un nombre premier,
2) j’ai dessiné le triangle sur une feuille de format A4.
Q₁ Justifiez le commentaire de Zig et donnez un exemple de construction d’un triangle ayant la propriété annoncée par Puce à partir de deux segments représentant deux des côtés du triangle.
Q₂ Trouvez les dimensions du triangle peu banal dessiné par Puce.

Solution

Par ordre alphabétique

Maurice Bauval,

Saturnino Campo Ruiz,

Jean Moreau de Saint Martin,

Marie-Christine Piquet,

Pierre Renfer et

Pierrrick Verdier ont traité ou résolu le problème et ont obtenu un triangle ABC unique de côtés AB = 13cm,BC = 14cm, CA = 15 cm, dessiné sur une feuille de format A4, dont la médiane issue de A, la hauteur issue de B et la bissectrice intérieure issue de C sont toutes trois concourantes.
Pierre Jullien a identifié un triangle ABC de dimensions AB = 19 cm, BC = 14 cm et CA = 30 m dans lequel la bissectrice extérieure de l'angle en C est concourante avec la médiane issue de A et la hauteur issue de B.