A l'instar des rosiers, un vecteur est dit « grimpant » si dans le repère orthonormé Oxy, sa composante verticale selon l'axe des y est positive ou nulle. Dans le demi-cercle de rayon unité situé du côté des y positifs, on considère 2005 vecteurs grimpants d'origine O et de longueur 1.

Montrer que la longueur du vecteur qui est la somme de ces 2005 vecteurs est toujours  1.

Montrer qu'à l'inverse avec 2004 vecteurs grimpants dont la longueur du vecteur somme peut être aussi petite que l'on veut.

Source : d'après olympiades internationales de mathématiques.

 Solution