D2906. Le pentagone cyclophile Imprimer
D2. Géométrie plane : autres problèmes

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On prolonge les cinq côtés d'un pentagone convexe ABCDE de manière à former une étoile à cinq branches AHBKCLDMEN. On trace les cercles circonscrits aux cinq triangles qui forment les branches de l'étoile. Démontrer que les cinq points d'intersection de ces cercles autres que les sommets du pentagone  sont cocycliques.

 Solution



Ce problème est une illustration du théorème de Miquel dont le mathématicien et philosophe anglais William Kingdon Clifford a fait une analyse approfondie il y a un siècle et demi environ dans ses"Mathematical papers".
Voir pages 38 et suivantes du document accessible à l'adresse https:/quod.lib.umich.edu/cache/a/a/s/aas8031.0001.001/00000101.tif.20.pdf#page=14;zoom=75
Récemment ce même problème s'est fait largement connaître quand en août 2002 le président chinois Yang Zemin l'a soumis à d'éminents mathématiciens réunis au cours d'un congrès international à Pékin.
Nos lecteurs liront avec intérêt les solutions proposées selon différentes approches par pdfCatherine Nadault,pdfThérèse Eveilleau,pdfJean-Louis Aymé,pdfGaston Parrour,pdfPierre Renfer,pdfJean-Louis Legrand.
Par ailleurs, la Toile permet d'avoir accès à la solution de pdfThomas Chomette et à celle de pdfV.Prasolov extraite de son ouvrage "Problems in plane geometry".