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D. Géométrie

D2. Géométrie plane : autres problèmes

D2906. Le pentagone cyclophile

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D2906. Le pentagone cyclophile

D2. Géométrie plane : autres problèmes

On prolonge les cinq côtés d'un pentagone convexe ABCDE de manière à former une étoile à cinq branches AHBKCLDMEN. On trace les cercles circonscrits aux cinq triangles qui forment les branches de l'étoile. Démontrer que les cinq points d'intersection de ces cercles autres que les sommets du pentagone sont cocycliques.

Solution

Ce problème est une illustration du théorème de Miquel dont le mathématicien et philosophe anglais William Kingdon Clifford a fait une analyse approfondie il y a un siècle et demi environ dans ses"Mathematical papers".
Voir pages 38 et suivantes du document accessible à l'adresse https:/quod.lib.umich.edu/cache/a/a/s/aas8031.0001.001/00000101.tif.20.pdf#page=14;zoom=75
Récemment ce même problème s'est fait largement connaître quand en août 2002 le président chinois Yang Zemin l'a soumis à d'éminents mathématiciens réunis au cours d'un congrès international à Pékin.
Nos lecteurs liront avec intérêt les solutions proposées selon différentes approches par