I164. Des parcours transcendants....et plus ordinaires - I164. Des parcours transcendants. . . . et plus...

Une fourmi part de l’un des sommets A d’une boite rectangulaire dont les dimensions sont x, y et z.
Elle se déplace sur les faces de la boite en décrivant des segments de droite qui font toujours des angles de 45° avec les côtés de la boite. Lorsque la fourmi arrive sur un côté de la boite, elle choisit la direction géodésique qui lui ferait décrire une ligne droite si les deux faces partageant ce côté étaient dépliées dans un même plan . La fourmi s’arrête quand elle atteint un sommet de la boite, pas nécessairement distinct du point de départ. On désigne alors par N le nombre de segments de droite parcourus par la fourmi et par L la longueur de son périple.

Q₁ On prend x = √2, y = π et z= e=2.718281828...Démontrer que la fourmi parvient à revenir à son point de départ. Donner les valeurs possibles de N et de L.

Q₂ Prouver s’il existe ou non les dimensions entières x,y,z d’une boite rectangulaire sur laquelle :
-   la fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet distinct de A avec N = 5,
-   la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 6,
-   la fourmi partant d’un sommet A revient en A avec N = 9,
-   la fourmi partant d’un sommet A parvient à un sommet pas nécessairement distinct de A avec N = 2015.

Solution

Jean Nicot,

Pierre Jullien et

Bernard Vignes ont résolu le problème.
On consultera avec intérêt la rubrique The mystery of the sealed box de James M.Henle qui est la source de ce problème ainsi que la rubrique 1183.A long walk on a box de Stan Wagon sur son site "Macalester College problems of the Week".