On  considère la suite S dont les deux premiers termes a₀ et a₁ sont des entiers strictement positifs et  le terme général a_n pour n ≥ 2, est défini par la relation de récurrence :
                                                        
On détermine aâ‚‚, a₃,… et on  arrête les calculs dès qu’on obtient un terme qui n’est pas un entier.
Q₁ Déterminez le nombre maximum k de termes de S. Justifiez votre réponse.
Q₂ Pour cette valeur k,prouvez qu’il existe une infinité de couples (a₀,a₁) qui permettent d’obtenir des suites S distinctes de k termes.
Application numérique : prouver qu’on sait trouver au moins neuf suites S de k termes dont le premier terme a₀ est inférieur à 2024.

 source: coupe Animath automne 2019 niveau Lycée.

 Solution