E563. Une partie en cinq manches Imprimer
E5. Enigmes logiques

calculator_edit.png  

Diophante fixe un entier positif n. Zig choisit n nombres entiers positifs pas nécessairement distincts et écrit toutes les sommes des termes pris 2 à 2 qu’il montre à Puce. Puce gagne le manche s’il trouve les n nombres initialement choisis par Zig.
Diophante fixe successivement cinq valeurs de n = 4,5,6,7 et 8.Qui gagne cette partie en cinq manches ?

 Solution


Ce problème a ete posé pour la première fois par L. Moser dans la revue "The American Mathematical Monthly" en 1957 et il a été repris pour n = 5,6 et 8 à l'occasion des Olympiades de mathématiques dans les Balkans en 2013. Plusieurs lecteurs ont noté que pour tout n Puce parvient toujours après d'éventuels tâtonnements à trouver une suite d'entiers dont les sommes des termes pris 2 par 2 coïncident avec la liste fournie par Zig.
La difficulté du problème consiste à démontrer que pour chaque valeur de n la suite trouvée par Puce est unique ou non. Si c'est le cas, Puce est vainqueur de la manche. A l'inverse, Zig est le vainqueur dès lors qu'il peut mettre en avant une autre suite qui donne les mêmes sommes. C'est vrai pour n égal à toute puissance de 2. Par exemple pour n = 4, les suites {1,5,7,9} et {2,4,6,10} donnent les mêmes sommes: 6,8,10,12,14,16.
Puce gagne donc la partie par 3 manches contre 2 et non sur le score de 5 à 0 qui vient naturellement à l'esprit.
pdfBernard Vignes a résolu le problème et s'est référé pour n = 7 à un article de John L. Selfridge et Ernst Gabor Straus qui a paru dans "Pacific Journal of Mathematics" et qui traite le problème dans le cas général des sommes de termes pris s par s: pdfOn the determination of numbers by their sums of a fixed order.