On fixe deux entiers k ≥ 1 et A > 0.
On recherche des suites de n entiers positifs u_i (i = 1,2,3,….n) strictement croissantes telles que :
 - un ≤ A,
 - quel que soit i,1 ≤  i ≤ n – k, u_i divise u_i+k.
Ces suites sont appelées (k,A)-harmonieuses.
Par exemple :
- avec k = 1 et A = 150, la suite des sept entiers 1,2,4,8,16,32,64,128 est (1,150)-harmonieuse avec u₁ = 1 qui divise u₂ = 2 qui divise u₃ = 4 qui divise u₄ = 8 etc… et u₇ = 128 < 150
- avec k = 2 et A = 90, la suite des huit entiers 1,2,5,6,10,18,40,90 est (2,90)-harmonieuse. Avec u₁ = 1 qui divise u₃ = 5 qui divise u₅ = 10 qui divise u₇ = 40 et u₂ = 2 qui divise u₄ = 6 qui divise u₆ = 18 etc.. et u₈ = 90
Q₁ Pour k prenant respectivement les valeurs 3,4,5,6,7,8,9 déterminer le plus grand nombre possible de termes contenus dans les suites (k,2025)-harmonieuses et pour chaque valeur de k donner un exemple de telles suites.
Q₂ Déterminer la plus petite valeur de k avec laquelle on sait trouver une suite (k-2025)-harmonieuse qui contient au moins 100 termes.