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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Accueil Problèmes du mois A1617. Le socle de l'entier n
A1617. Le socle de l'entier n Imprimer Envoyer

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Soit un entier n ≥ 2 avec ses diviseurs classés par ordre croissant 1 = d1 < d2 < d3 < …< dk = n. Le socle sn de l’entier n est égal à  la somme des produits de deux diviseurs consécutifs soit sn = d1d2 + d2d3 + …+ dk-1dk.
On pose rn = sn/n2
Q1 Prouver que rn < 1  pour tout n ≥ 2.
Q2 Déterminer le plus petit entier n tel que rn > 0.95
Q3 Déterminer les entiers n tels que sn est un diviseur de n2.
Q4 Prouver que quels que soient i et j entiers  r2i > r2j + 1  
Q5 Déterminer deux entiers p et q, 2 < p, q < 10000, p pair et q impair tels que rp – rq < 1/30
Source :olympiades internationales de mathématiques 2002 à Glasgow

 

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