Soit un entier n ≥ 2 avec ses diviseurs classés par ordre croissant 1 = d1 < d2 < d3 < …< dk = n. Le socle sn de l’entier n est égal à la somme des produits de deux diviseurs consécutifs soit sn = d1d2 + d2d3 + …+ dk-1dk. On pose rn = sn/n2 Q1 Prouver que rn < 1 pour tout n ≥ 2. Q2 Déterminer le plus petit entier n tel que rn > 0.95 Q3 Déterminer les entiers n tels que sn est un diviseur de n2. Q4 Prouver que quels que soient i et j entiers r2i > r2j + 1 Q5 Déterminer deux entiers p et q, 2 < p, q < 10000, p pair et q impair tels que rp – rq < 1/30 Source :olympiades internationales de mathématiques 2002 à Glasgow
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