Ce problème a été suggéré par Arnaud Debeurm.

Diophante passe en revue les dix mille premiers nombres entiers naturels 1,2,3,4,...10000 et repère tous ceux qui ont la propriété P(k) d'être la somme de deux carrés de nombres entiers de k façons différentes k=0,1,2,etc..

Par exemple:
- 7 a la propriété P(0) car il est impossible de l'exprimer comme somme de deux carrés,
- 10 a la propriété P(1) car 10 = 3² + 1² et c'est la seule décomposition possible,
- 65 a la propriété P(2) car 65 se décompose de deux manières 65 = 8² + 1² = 7² + 4². Il en est de même de 50 = 5² + 5²= 7² + 1²,

- 8381 a la propriété P(3) car 8381 s'écrit de trois façons 8381 = 91² + 10² =85² + 34² = 70² + 59² .

Il constate que dans sa liste:

1) il n'y a pas quatre entiers consécutifs qui ont la propriété P(k) avec k>0. [*]
2) les nombres premiers ont la propriété P(0) ou P(1) mais jamais la propriété P(k) pour k>1. [**]

3) les nombres dont la factorisation contient les termes 3,7,11,... avec des exposants impairs c'est à dire de la forme avec k et p entiers , ont tous la propriété P(0). [****]
4) les plus petits entiers >2 qui ont respectivement la propriété P(1), P(2),P(3),P(4)....P(k),.. sont tous divisibles par 5. [****]

Ces quatre constatations sont-elles vraies pour tous les entiers naturels ?