On considère un entier naturel n quelconque supérieur à 10 et dont au moins deux chiffres sont de parités différentes. On lui ajoute l'un de ses chiffres non nul de façon à obtenir une famille de nombres impairs p strictement croissants et on répète l'opération aussi longtemps que possible jusqu'à l'obtention forcée d'un nombre pair. Soit k le nombre d'additions effectuées.

Exemple : n = 43.
1 ère opération : p = 43 + 4 = 47
2 ème opération : p = 47 + 4 = 51
3 ème opération : p = 51 + 5 = 56

On a k = 3.

Démontrer que quel que soit l'entier initial n >10, l'entier k est fini. Quel est l'entier n impair < 2006 pour lequel k est le plus grand ?
Même question si l'entier n est pair < 2006.