Si on souhaite varier les plaisirs avec les grilles de Sudoku, rien de plus simple que de garder son crayon et sa gomme, de tracer une grille vierge à 9x9 cases et de se lancer dans la résolution des exercices suivants (les tout premiers sont les plus faciles).

On suppose que les 81 cases sont toutes des carrés de dimension unité. Deux cases sont dites adjacentes si elles ont un côté commun.

Les quinze digressions se terminent par la résolution de six grilles de Sudoku..

Digression n°1

On remplit 40 cases de la grille avec des croix et les 41 cases restantes avec des étoiles. On prend deux cases quelconques. Si les deux symboles qu'elles contiennent sont les mêmes, on les remplace par un seule croix inscrite dans l'une quelconque des deux cases. S'ils sont différents, on les remplace par une seule étoile .On élimine ainsi 80 symboles. Quel est le dernier symbole figurant dans la grille ?

Généralisation avec une grille remplie initialement avec 2k croix et 81-2k étoiles (k entier quelconque inférieur ou égal à 40).

Digression n°2

Toutes les cases de la grille sont remplies avec les entiers pris de 1 à 81 dans le désordre .Le plus grand entier de chaque ligne est marqué en bleu et le plus grand entier de chaque colonne est marqué en rouge. Les neuf nombres marqués en bleu sont sur la diagonale principale. Où se trouvent les neuf nombres marqués en rouge sachant qu'ils se trouvent sur des lignes différentes ?

Digression n°3

On inscrit une croix au centre de chacune des 81 cases de la grille. Cinq croix sont choisies au hasard. Montrer qu'il existe au moins un segment qui joint deux d'entre elles et qui contient au moins une troisième croix.

Digression n°4

On remplit la grille en inscrivant les nombres entiers i + j - 1 à l'intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. Quel est le plus petit produit de neuf nombres de la grille sachant qu'il n'y a jamais deux de ces nombres sur la même ligne ou sur la même colonne ?

Digression n°5

On remplit les 81 cases de la grille avec l'une quelconque des valeurs ?1, 0 et 1.Les 18 sommes calculées sur les 9 lignes et sur les 9 colonnes peuvent elles être toutes différentes entre elles ?

Digression n°6

On inscrit les entiers 1 à 81 dans toutes les cases de la grille. Montrer qu'il existe deux cases adjacentes dont l'écart entre les deux nombres qu'elles contiennent est au moins égal à 9?

Digression n°7

On inscrit les entiers 1 à 81 dans toutes les cases de la grille. On calcule toutes les sommes des nombres de deux cases adjacentes. Leur valeur maximale est M. Comment arranger les 81 nombres pour que M soit la plus petite possible ?

Digression n°8

On inscrit huit croix dans huit cases de la grille. On convient ensuite qu'une case blanche peut recevoir une croix si elle est adjacente à au moins deux cases déjà marquées d'une croix. Peut-on remplir de croix la totalité de la grille après un choix convenable des huit premières croix?

Digression n°9

Une croix est inscrite dans la case centrale de la grille et toutes les autres cases sont blanches. Chacun à son tour, deux joueurs A et B mettent une croix dans une case blanche adjacente à celle qui a été marquée d'une croix au tour précédent. Lorsqu'un joueur ne peut plus jouer, il perd la partie. A joue le premier. Qui gagne la partie ?

Digression n°10

On souhaite réaliser le quadrillage de la grille en traçant exclusivement des carrés de dimension n x n (n compris entre 1 et 9) sachant qu'on peut faire un panachage avec des carrés de dimensions différentes. Quel est le nombre minimal de carrés qu'il faut tracer?

Nota :on ne tient pas compte du fait que certains traits de la grille réelle sont renforcés pour délimiter les 9 carrés 3x3.

Digression n°11

On trace des droites dans le plan de la grille jusqu'à ce que chacune des 81 cases ait des points intérieurs sur au moins une de ces droites. Combien y a-t-il de droites au minimum ?

Digression n°12

Quel est le nombre maximum de croix que l'on peut inscrire au centre de chacune des cases de la grille de telle sorte que les distances qui séparent deux croix quelconques sont toutes distinctes entre elles ?

Donner une configuration correspondant à ce nombre maximum de croix.

Digression n°13

On relie entre elles les 81 cases de la grille par des passerelles selon le schéma ci-après :

Chacun à son tour, deux joueurs A et B suppriment une ou deux passerelles à la condition que toutes les cases restent connectées entre elles. Le perdant est celui qui n'a plus de liberté de man?uvre et se trouve obligé d'interrompre la connexion des cases. A joue le premier. Qui gagne la partie ?

Digression n°14

Six croix désignées par et sont inscrites au centre de six cases de la grille. La distance qui sépare est égale à i + j pour i et j variant de 1 à 3. Comment sont placées les six croix ?

Digression n°15

Soient 18 nombres entiers relatifs tous distincts entre eux . On remplit la grille en inscrivant le nombre à l'intersection de la ligne n°i et de la colonne n°j. Il apparaît que les produits des nombres d'une même ligne sont tous égaux à une même constante C. Quelles sont les valeurs des produits des nombres apparaissant sur une même colonne ?

Sources : olympiades nationales et internationales de mathématiques (n°4,5,6,7,9,10), Olymon(n°11), Tournoi des Villes (n°13), JM Ferrard (n°3,14), Mathematical miniatures de Svetoslav Savchev et Titu Andreescu (n°15).

Nota : pour les plus courageux, la majorité des exercices peuvent être traités avec une grille (n,n) n entier quelconque, le cas n = 9 étant un cas particulier.

Et pour terminer six grilles de Sudoku .