Small Fonts Default Fonts Large Fonts

Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
Open/Close
A1978. Unique en son genre Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri
calculator_edit.png  

Trouver un entier naturel n inférieur à 2011 divisible par trois entiers distincts dont la conversion dans trois bases entières a,b et c distinctes donne respectivement des nombres uniformes à 3, 4 et 6 chiffres avec deux au moins de ces nombres qui n’utilisent pas le même chiffre. Démontrer que cet entier n est unique.
Nota : un nombre uniforme ou rep-digit est formé par la répétition du même chiffre compris entre 1 et 9.


Solution

Ce problème devrait s'intituler "Le mal nommé". En effet comme son rédacteur a oublié de préciser que les trois diviseurs distincts de n étaient strictement inférieurs à n, il y a deux solutions:
1) n=1092 avec par exemple trois diviseurs 273,156 et 364 qui s'écrivent respectivement 333,1111 et 111111 en bases 9,5 et 3
2) n = 1365 avec les trois diviseurs 273,455 et 1365 lui-même qui s'écrivent respectivement 333,555 et 111111 en bases 9,9 et 4.
Antoine Vanney,Bernard Grosjean,Gaston Parrour,Patrick Gordon,Pierre Henri Palmade,Philippe Laugerat,Paul Voyer et François Bulot ont résolu le problème.
 
RSS 2.0 Our site is valid CSS Our site is valid XHTML 1.0 Transitional