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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A1. Pot pourri

A1851. Trois séquences à l'unisson

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A1851. Trois séquences à l'unisson

A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

Pour une fraction rationnelle r < 1,on recherche la plus courte séquence de k entiers positifs distincts a_i,i = 1,2,...k, tels que le produit des k nombres 1 – 1/a_i est égal à r.
On désigne par n(r) le nombre de termes de cette séquence.Par exemple pour r = 4/9 , on a n(r)=2 avec a₁= 2 et a₂ = 9 qui vérifient l’équation (1 – 1/2).(1 – 1/9) =4/9.
Démontrer que n(41/2013) = n(41/2014) = n(41/2015). Justifier la réponse en donnant la valeur commune ainsi que les termes de chacune des trois séquences.

Pour les plus courageux disposant d’un automate . Trouver au moins un entier m ? multiple de 41 et > 1 tel que n(m/2013) = n(m/2014) = n(m/2015).

Solution