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Très facile
Facile
Moyen
Difficile
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| A1869. Fini et infini |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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Démontrer qu'il existe un nombre fini de triplets d'entiers strictement positifs (a,b,c) pour lesquels les trois nombres A = ab ‒ c, B = bc ‒ a et C = ca ‒ b sont des puissances de 2 et qu'à l'inverse il en existe un nombre infini pour lesquels A,B et C sont des carrés parfaits > 0.
Source: variante d'un problème proposé par la Serbie aux IMO.  Pierre Henri Palmade,Jean Moreau de Saint Martin,Gaston Parrour,Marie-Christine Piquet et Francesco Franzosi ont résolu tout ou partie du problème. Celui-ci comporte deux questions: - la première (A,B,C sont des puissances de 2) est la plus difficile.Il s'agit du deuxième problème posé aux Olympiades Internationales de mathématiques qui se sont tenues en 2015 à Chiang Mai (Thaïlande). La solution complète, trouvée par 5% seulement des candidats du monde entier, est accessible sur le site d'Art of Problem Solving. - la deuxième question (A,B,C sont des carrés parfaits) se traite plus aisément. |
