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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A1. Pot pourri

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A1732-Pilotage (en or) par la moyenne

A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

On s’intéresse à la suite S_n de n entiers distincts a₁ = 1,a₂,…,a_k,..a_n > 0 qui a la propriété suivante : pour tout entier k prenant les valeurs 1,2,3,...,n, a_k est le plus petit entier ne figurant pas dans la liste a₁,a₂,…,a_k-1, tel que la moyenne arithmétique des k premiers termes de S_n est un entier.
On se fixe un entier n₀ et on recherche l’entier n tel que a_n = n₀
Par exemple avec n₀= 4, la suite S₆ de six termes = {1,3,2,6,8,4} satisfait ces conditions.

Q₁ Démontrer qu’on sait trouver une suite S_n avec n₀ = 30.
Q₂ Démontrer qu’on sait trouver une suite S_n quel que soit n₀.
Q₃ On désigne par a(n) le dernier terme de la suite S_n, par M_n et m_n respectivement le plus grand et le plus petit des deux termes n et a(n).Déterminer la limite du ratio M_n / m_n quand n tend vers l’infini.

Solution