Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :
Très facile
Facile
Moyen
Difficile
Très difficile
Variable
Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
A1736. Des 4-uples et leurs ppcm |
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
Problème proposé par Michel Lafond Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ). Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ). Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ). Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions. Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021 |