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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

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D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

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A1736. Des 4-uples et leurs ppcm Imprimer Envoyer
A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

calculator_edit.png  

Problème proposé par Michel Lafond
Q₁ Trouver deux 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d) et (w,x,y,z) de sorte que a,b,c,d sont de manière unique les plus petits communs multiples des cinq entiers w,x,y,z,w  pris deux à deux dans cet ordre, à savoir : a = ppcm(w,x), b = ppcm(x,y), c = ppcm(y,z) et d = ppcm(z,w).
Q₂ Trouver trois 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d),(w₁,x₁,y₁,z₁) et (w₂,x₂,y₂,z₂) de sorte que a,b,c,d sont  à la fois les plus petits communs multiples de  w₁,x₁,y₁,z₁,w₁ pris deux à deux dans cet ordre et les plus petits communs multiples de  w₂,x₂,y₂,z₂,w₂ pris deux à deux dans cet ordre.
 Q₃ Trouver quatre 4-uples d’entiers positifs tous distincts (a,b,c,d),(w₁,x₁,y₁,z₁), (w₂,x₂,y₂,z₂) et (w₃,x₃,y₃,z₃) de sorte que a,b,c,d sont  à la fois les plus petits communs multiples de  w₁,x₁,y₁,z₁,w₁ pris deux à deux dans cet ordre, les plus petits communs multiples de  w₂,x₂,y₂,z₂,w₂ pris deux à deux dans cet ordre et les plus petits communs multiples de  w₃,x₃,y₃,z₃,w₃ pris deux à deux dans cet ordre.

Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
 1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui.
2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même.
Q₁ Démontrer qu’il existe une infinité d’entiers n strictement positifs tels que l’entier n égalise son sigma (σ) diminué de son phi (φ) et de son tau(τ).
Q₂ Démontrer qu’il existe au moins un entier n strictement positif tel que son double égalise son sigma (σ) augmenté de son phi(φ) et diminué de son tau(τ).
Q₃ Démontrer qu’il existe une infinité de paires d’entiers strictement positifs (m,n) tels que le rapport des deux entiers est l’inverse du rapport de leur sigma (σ).
Q₄ Soit un entier k ≥ 1. Démontrer que l’équation σ(n) = n + k a un nombre fini de solutions.
Application numérique : déterminer le plus grand entier n₀ tel que σ(n₀) = n₀ + 2021. Démontrer qu’il existe un entier n₁ > n₀ tel que φ(n₁) = n₁ – 2021
 
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