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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode)
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode)
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Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :
Très facile
Facile
Moyen
Difficile
Très difficile
Variable
D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône 
Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône 
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figure seule.
Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.
Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.
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| A1899. La saga de Méphisto (3ème épisode) |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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Zig dispose d’une calculette de marque déposée @Méphisto dont le clavier comporte trois touches qui permettent d’obtenir à partir d’un entier quelconque n strictement positif affiché à l’écran :
1) φ(n), fonction d’Euler, le nombre d’entiers qui sont strictement inférieurs à l’entier n et sont premiers avec lui. 2) σ(n) la somme des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. 3) τ(n) le nombre des diviseurs de l’entier n, y compris 1 et lui-même. Q1 Démontrer que les deux nombres entiers n et n + 2 sont des nombres premiers jumeaux si et seulement si la somme de leurs σ est égale au double du plus grand d’entre eux et la somme de leurs φ est égale au double du plus petit. Q2 Démontrer qu’un entier n est un nombre premier si et seulement si φ(n) divise n – 1 et n + 1 divise σ(n). Q3 Trouver au moins cinq entiers n positifs < 2021 tels que φ(σ(n)) = n Nota : les trois questions sont indépendantes  Jean Moreau de Saint Martin,Daniel Collignon,Gaston Parrour,Thérèse Eveilleau,Marc Humery et Antoine Verroken ont résolu tout ou partie du problème. |
