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A. Arithmétique et algèbre

A1. Pot pourri

A1758. Mise en bouche cru 2022

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A1758. Mise en bouche cru 2022

A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri

A- Le classique parmi les classiques
A₁ Avec les quatre opérations élémentaires +, - , x ,/ et des parenthèses mises en tant que de besoin,à l'exclusion de tout autre symbole tel que exposant,racine carrée, factorielle,... trouver une formule qui fait intervenir des nombres à un seul chiffre (les concaténations sont donc interdites) et donne un résultat égal à 2022 à partir :
des neuf chiffres de 1 à 9 pris dans cet ordre [*]
Par exemple pour obtenir 101, on pourrait écrire 101 = (1 + 2 + 3) x 4 – 5 x (6 - 7) + 8 x 9.
Pour les plus courageux : trouver le plus petit entier >2022 qui ne peut pas s’exprimer de cette manière.[****]
A₂ Pierre Leteurtre propose de modifier les règles en autorisant la concaténation des chiffres (par exemple
12 x 3 + 45 = 81) et en adoptant la notation polonaise inverse qui évite les parenthèses. Trouver les formules qui permettent d’obtenir 2022 [**]
B- Le k^ième parmi d’autres
B₁ Je suis le quatrième entier de la suite strictement croissante S₁ des entiers positifs à quatre chiffres dont trois chiffres sont identiques, chacun d’eux étant multiple d’un nombre premier permutable à trois chiffres. Par exemple 7775 = 25 x 311 appartient à S₁. Qui suis-je ? Donner tous les termes de S₁ ?[**]
Nota : un entier premier permutable reste premier quand on effectue une permutation quelconque de ses chiffres.
B₂ Je suis le dixième terme de la suite strictement croissante S₂ des entiers positifs tels que moi-même et les trois entiers consécutifs venant après moi sont respectivement divisibles par la somme de leurs chiffres. Par exemple l’entier 510 appartient à S₂ avec 510, 511, 512 et 513 respectivement divisibles par 6, 7, 8 et 9.
Qui suis-je ? Donner les huit premiers termes de S₂.[*]
B₃ J’appartiens à la suite strictement croissante S₃ des entiers supérieurs d’une unité au produit de deux nombres premiers consécutifs. Par exemple l’entier 324 fait partie de S₃ avec 324 = 17.19 + 1. Cinquante et un entiers à quatre ou cinq chiffres de cette suite sont supérieurs à moi. Qui suis-je ? Donner mon rang dans S₃[*]

Solution