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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1795. La saga de Méphisto (5ème épisode)
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A1. Pot pourri A1795. La saga de Méphisto (5ème épisode)
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| A1795. La saga de Méphisto (5ème épisode) |
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| A. Arithmetique et algèbre - A1. Pot pourri |
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Soient φ(n) l’indicatrice d'Euler qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers compris entre 1 et n et premiers avec n et σ(n) la fonction sigma qui est la somme des diviseurs positifs de n.
Q1 Pour tout entier k > 1, prouver qu’il existe une suite strictement croissante de k entiers positifs n1 < n2 < n3 < ....< nk telle que la suite correspondante φ(ni) soit strictement décroissante :φ(n1) >φ(n2) > φ(n3) > .......> φ(nk). Q2 Pour tout entier k > 1, prouver qu’il existe une suite strictement croissante de k entiers positifs n1 < n2 < n3 < ....< nk telle que la suite correspondante σ(ni) soit strictement décroissante : σ(n1) > σ(n2) > σ(n3) > ..... σ(nk) ? Q3 Pour k prenant respectivement les valeurs 2,3,4,5 et 6, trouver des suites strictement croissantes d’entiers positifs ni pour i variant de 1 à k telles que les suites correspondantes φ(ni) et σ(ni) soient l’une et l’autre strictement décroissantes. Pour les plus courageux : peut-on affirmer que pour tout k > 1, on sait trouver une suite d’entiers positifs strictement croissante telle que les suites correspondantes φ(ni) et σ(ni) soient l’une et l’autre strictement décroissantes ?
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