On s’intéresse à la suite S des nombres entiers de terme général s(n), qui sont les sommes des diviseurs non triviaux(1) des entiers naturels 1,2,3,… Par exemple s(24) = 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12 = 35. Q1 Déterminer respectivement les plus petits entiers p, q et r tel que s(p) ≥ 10, s(q) ≥ 100 et s(r) ≥ 1000. Q2 Déterminer les entiers n qui ont au moins trois facteurs premiers distincts tels que s(n) < 100 Q3 Il existe dans S des termes qui apparaissent k fois avec k ≥ 0. Si on désigne par x(s) le nombre d’occurrences de la valeur s dans S, on calcule a = x(14), b = x(30), c = x(32), d = x(36), e = x(40), f = x(48), g =x(50), h = x(51), i = x(56), j = x(72). Vérifier que (a + b)*(c + d + e + f)*(g + h + i + j) = 2023(2)
(1) Nota : c’est à dire les diviseurs de n à l’exclusion de 1 et de n. (2) Tous les calculs peuvent être faits assez facilement à la main mais l’usage d’un automate n’est pas interdit.
Bruno Grebille, Bernard Vignes, Daniel Collignon, Emmanuel Vuillemenot, Francesco Franzosi, Gaston Parrour, Jean Moreau de Saint Martin, Kee-Wai Lau, Matthew A. Brown, Marc Humery, Marie-Nicole Gras, Pierre Henri Palmade, Pierre Leteurtre, Pierrick Verdier, Thérèse Eveilleau ont résolu le problème.
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