1ère séquence :

On considère la séquence des nombres entiers constituée exclusivement de nombres premiers qui vérifient l'une ou l'autre de ces deux relations p_n = 2p_n-1 + 1 ou p_n = 2p_n-1 - 1 avec p₁ nombre premier et n entier quelconque > 1. Par exemple :p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 7 et p₄ = 13.

2ème séquence:

On considère la séquence strictement croissante constituée par les carrés parfaits d'entiers naturels tels que la différence de deux termes consécutifs est un nombre premier ou le carré d'un nombre premier.Par exemple : c₁ = 64, c₂ = 81 et c₃ = 100.

3ème séquence :

On considère la séquence strictement croissante des nombres entiers triangulaires qui forment une progression géométrique.Par exemple : t₁ = 1, t₂ = 6 et t₃ = 36.

Nota : on rappelle que le n-ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers entiers naturels.

Démontrez que chacune de ces trois séquences n'a jamais un nombre infini de termes. Indiquez les séquences les plus longues que vous avez trouvées.

Pour les plus courageux, généralisation dans la 1 ère séquence avec les deux relations de la forme p_n = 2p_n-1 + 2k+1  ou p_n = 2p_n-1 - (2k+1). Discutez en fonction de k entier > 0.