Pierre Henri Palmade, Jean Moreau de Saint Martin, Daniel Collignon et Fabien Gigante ont résolu le problème.

Autre solution
Soit un entier naturel n qui a la propriété [P] de diviser N = a³⁷ - a pour tout entier a positif. Il ne peut pas être un carré parfait ou le multiple d'un carré parfait. Si c'était le cas, il serait divisé par le carré d'un nombre premier p (=2,3,5 ..). Dès lors p² diviserait p³⁷ - p ou encore p diviserait p³⁶ - 1 ce qui est impossible. L'entier n est donc le produit de nombres premiers distincts.
Considérons 2³⁷ - 2 = 2.3³.5.7.13.19.37.73.109. On vérifie que  3³⁷ = - 29 modulo 109 et  5³⁷ = - 5 modulo 73.Il en résulte que n ne peut pas être un multiple de 73 et de 109.
A l'inverse, les nombres premiers p = 2,3,5,7,13,19 et 37 ont bien la propriété [P] car pour chaque valeur de p il existe un entier k tel que k(p-1) + 1 = 37.
En effet pour p = 2, k =36 ; p = 3, k = 18 ; p = 5, k = 9, p = 7 ; k = 6, p = 13, k = 3 ; p = 19 , k =2 et p = 37 , k = 1.
On a alors a^k(p-1)+1 - a = a(a^k(p-1) - 1). Comme a^p-1 = 1 modulo p d'après le petit théorème de Fermat, il en résulte que a^k(p-1) = 1  modulo p.
n est alors un diviseur quelconque > 1 de l'entier A égal au produit des sept nombres 2,3,5,7,13,19 et 37 soit A = 2.3.5.7.13.19.37. = 1919190
On trouve ainsi aisément le plus grand palindrome 50505 = 3*5*7*13*37 qui divise N.
Par ailleurs il y a 2⁷- 1 = 127 diviseurs de a³⁷ - a quel que soit l'entier a positif.