A271 Un menu pantagruélique [* à ***** à la main selon l’ordre d’arrivée des plats]

Au cours de ce repas digne de Pantagruel où les polynômes sont à toutes les sauces, Diophante et Hippolyte ont cette conversation :

A la première entrée [*]

-          D : Voici un polynôme P(x) de degré n avec des coefficients entiers. L’un de mes neveux vient d’avoir l’âge A qui est un entier naturel. P(A) prend la valeur A et pour la valeur zéro, P(0) est égal à un nombre premier strictement supérieur à A. Trouve A.

-          H : Ce problème est impossible.

Aidez Hippolyte à résoudre ce problème très classique et très simple

Source: nombreuses revues mathématiques

A la deuxième entrée [*]

-          H : Voici une courbe bleue qui représente un polynôme du 4^ème degré dont les coefficients sont des entiers. Les points A et B situés sur cette courbe ont des coordonnées entières et j’ai constaté que la distance AB est également un nombre entier.

-          D : Si ce que tu viens de dire est exact, ton graphique est manifestement erroné.

La remarque de Diophante est-elle fondée ?

A la troisième entrée [*]

-     H : Je souffre sur un polynôme P(x) du n^ième degré à coefficients entiers dont j’essaie en vain d’extraire les racines qui annulent P(x).

-          D (qui ignore tout de ce polynôme) : Donne moi la parité de P(0) et de P(1)

-          H : Les valeurs de P(0) et de P(1) sont toutes deux impaires.

-          D : Alors ne te fatigue plus, ton polynôme n’a pas de racines.

-          H : Tu plaisantes ?

A votre avis Diophante plaisante-t-il réellement ?

Source : ouvrages d’arithmétique élémentaire

Au premier plat [*]

-          D : J’ai un polynôme du 11^ème degré à coefficients entiers qui a la particularité de prendre la valeur 7 pour cinq entiers distincts.

-          H : C’est très banal.

-          D : Certes mais peux-tu me démontrer que ce polynôme ne prend jamais la valeur 11 ?

-          H : Bizarre, bizarre, mon cher Diophante.

Pouvez-vous aider Hippolyte à expliquer la bizarrerie ?

Source :d’après Olympiades canadiennes de mathématiques.

Au deuxième plat [**]

-          H : J’ai rencontré tout récemment le père d’une bien belle famille. Il m’a donné un polynôme de la forme P(x) = xⁿ + a_n-1x^n-1 +...+a₁x + a₀ dont les racines toutes entières sont égales aux âges des enfants de cette famille. J’ai seulement gardé en mémoire l’exposant n et les deux termes et . Avec seulement ces trois données, peux-tu retrouver les âges des enfants ?

-          D : Il me manque une donnée pour pouvoir te répondre.

-          H : Tu as raison. J’ai oublié que le père de famille m’a précisé que dans un an le terme constant du polynôme sera multiplié par 12.

Sachant que a₀ =180, trouvez le nombre d’enfants de cette famille ainsi que leurs âges respectifs.

Source :original

Au troisième plat  [**]

-          D : Voici un polynôme du 3^ème degré P(x) dont les trois racines donnent les âges de trois de mes neveux exprimés par des entiers naturels>0.

-          H : Je constate que la somme des quatre coefficients est au signe près un nombre premier.

-          D : Certes mais je ne vois pas le rapport avec la résolution d’une équation du 3^ème degré.

-          H : C’est bien fatigant de faire appel à la formule de Cardan et je ne l’ai plus en mémoire. J’ai rencontré l’aîné de tes neveux il y a peu de temps. J’ai une vague idée de son âge et quand je remplace x par l’estimation de son âge dans P(x), j’obtiens 675. Manifestement, je me trompe lourdement.

Pouvez aider Hippolyte à trouver l’âge des trois neveux et par la même occasion calculez l’âge erroné qu’il avait donné à l’aîné des trois neveux.
Source : variante d’un problème cité dans de  nombreux ouvrages de récréations mathématiques.

Au trou gascon [**]

-          H : A mon tour de te poser un problème du même genre avec un polynôme du 3^ème degré pour calculer mon âge.

-          D : C’est vrai que je n’arrive jamais à le retenir!

Hippolyte montre à Diophante un polynôme du troisième degré P(x) dont les coefficients sont des nombres entiers.

-          H : L’une des trois racines est mon âge exprimé sous la forme d’un nombre entier. Que vaut-il ?

-          D : Si j’essaie x=23, j’obtiens P(23) = 245.

-          H : C’est normal que tu ne trouves pas zéro. Quand j’avais 23 ans, c’était le bon temps !

-          D : Si j’essaie un entier plus grand, P(x) prend la valeur 253. Ce n’est pas encore zéro !

-          H : Décidément tu continues à me rajeunir.

Déterminez l’âge d’Hippolyte, le deuxième entier essayé par Diophante et le polynôme P(x) en supposant que les coefficients n’ont aucun diviseur commun.
Source : variante d’un problème cité dans de  nombreux ouvrages de récréations mathématiques.

Au quatrième plat [****]

-          H : J’ai sous les yeux un polynôme de degré >1 dont les racines sont toutes entières et dont les coefficients de xⁿ, x^n-1, ..,x et le terme constant vont en croissant et forment une progression arithmétique.

-          D : J’en ai un également et l’écriture de mon polynôme est plus longue que la tienne.

Donnez les deux polynômes trouvés respectivement par Hippolyte et Diophante et démontrez qu’il n’y en a pas d’autres.

Source : Bill Sands (Université de Calgary) – Crux Mathematicorum – mai 2003

Au premier dessert [****]

-          H : Voici une équation du 3^ème degré x³ +?x² +?x + ? = 0 dans laquelle je remplace trois des coefficients par des points d’interrogation. Tu m’indiques un nombre et c’est moi qui décide lequel des trois points d’interrogation sera remplacé par ce nombre .Nous répétons le processus encore deux fois afin de remplacer finalement les trois points d’interrogation par des nombres. Je te mets au défi d’obtenir une équation qui a trois racines entières distinctes.

-          D : Je relève le défi.

A votre avis Diophante a-t-il raison de relever le défi ?

Source : d’après MathBattle – Université de Toronto (Canada)

Au deuxième dessert [*****]

-          H : Pour finir en beauté notre repas, j’ai un polynôme P(x) qui est remarquable car tous ses coefficients sont positifs et sont des nombres premiers et…

-          D (qui ignore tout du polynôme et coupe la parole à Hippolyte car il subodore un k^ème problème d’âges à deviner) : Je vais deviner tous les nombres premiers avec seulement deux de ses valeurs

-          H : C’est impossible. Mon polynôme est du n^ième degré avec n+1 coefficients. Tu dois logiquement résoudre un système de n+1 équations avec n+1 inconnues et me demander n+1 valeurs de P(x) pour n+1 valeurs de x que tu choisis.

-          D : Je confirme. Deux valeurs me suffisent. Je te donne u et tu me réponds P(u). Je te donne v et tu me réponds P(v). Tu me laisses une demi-seconde de réflexion et je te donne alors le degré du polynôme et les n+1 coefficients. 

-          H : C’est du bluff !

A votre avis Diophante bluffe-t-il ?

Source : Math Forum Macalester College (USA)

Nota :
1)    les solutions des dix énigmes sont toutes indépendantes les unes des autres.
2)    certains lecteurs peuvent à juste titre considérer que le dernier problème ne mérite pas ses cinq étoiles car il peut se résoudre en quelques secondes mais si l’inspiration manque, les minutes pour le résoudre paraissent longues…

Jean Moreau de Saint Martin et Claude Morin ont avalé tout le menu d’une seule traite sans attraper la moindre indigestion… Toutes nos félicitations.

Félicitations également à Paul Voyer, Pierre Henri Palmade et Daniel Collignon qui ont résolu la quasi-totalité des exercices ainsi qu’à Gilles Nithart et Baptiste Gorin qui ont fait une bouchée du deuxième dessert (malgré ses 5 étoiles…)

Cliquer sur leur nom pour accéder à leurs solutions.

Claude Morin,Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Paul Voyer,Daniel Collignon,Baptiste Gorin,Gilles Nithart.