Pour varier les plaisirs de la base décimale avec laquelle nous vivons quotidiennement, voici quelques exercices qui nous invitent à opérer sur de nouvelles bases :
A-Mise en train [*]
1)    Résoudre l’équation  (N)₇ = (4321)₅ où N est l’inconnue et les indices 7 et 5 situés en bas et à droite désignent les bases dans lesquelles sont respectivement exprimés N et 4321.
2)    Si le quart de 144 vaut 31, que vaut le cinquième de 334 ?
3)    Si 6*59 =152, que vaut 8*13 ?

B-Bis repetita placent [**]
1)    Dans quelle base 11111 est-il un carré ?
2)    Trouver la base b ≤26 et les chiffres X et Y≤ 9 tels que (XXXX)_b = (YY²)_b
3)    Trouver la base b ≤26, le chiffre X ≤9 et l’exposant k tel que  (XXX)_b = (X^k)_b

C-Comme dans un miroir [**]
1)    Trouver des entiers XYZ  et la base b  tels que (XYZ)_b = (ZYX)₁₀
2)    Poursuivre avec (XYZ....W)_b = (W...ZYX)₁₀

D – Esope reste ici et se repose (palindrome bien connu) [****]
Trouver la séquence exprimée en base 10 des entiers naturels a₁,a₂,a₃,...,a_n  telle que a_i  est le plus petit nombre qui s’exprime sous la forme d’un palindrome à la fois en base i+1 et en base i+2.
Exemple : a₃ = 9222 est un entier en base 10 qui vaut 2100012 en base 4 et 243342 en base 5 qui sont deux palindromes l’un et l’autre mais ce n’est pas le plus petit entier qui a cette propriété.

Sources : original et On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

Jean Moreau de Saint Martin,Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon ont résolu le problème.
A272-autre solution