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Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A2. Algèbre élémentaire

A277. Trois fonctions à valeurs entières

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A277. Trois fonctions à valeurs entières

A2. Algèbre élémentaire

Pour chacun des trois exercices ci-après qui sont indépendants les uns des autres, on considère une fonction f définie sur l’ensemble N* des entiers > 0 et à valeurs dans N* .

Premier exercice
Si a et b sont premiers entre eux, on f(a*b) = f(a)*f(b)
Si p et q sont deux nombres premiers f(p+q) = f(p) + f(q).
Calculer f(2006).

Deuxième exercice
Soit une fonction f définie sur l’ensemble N* des entiers > 0 et à valeurs dans N*.
Pour tout couple a et b, f(a+b) – f(a) – f(b) prend l’une ou l’autre des valeurs 0 et 1.
Par ailleurs f(2) = 0, f(3) > 0 et f(6666) = 2222
Calculer f(2006)

Troisième exercice
Pour tout a, on a f(a+1) > f(a)
Pour tout couple a et b f(a+f(b)) = f(a) + b +1
Calculer f(2006)

Sources : d’après olympiades nationales et internationales de mathématiques.

Solution