On part de l'ensemble E₀ = {0,n} avec n entier strictement positif.
L'ensemble E₀ grandit de la manière suivante : on lui ajoute un entier relatif dès lors qu'on sait trouver un polynôme P(x) dont les coefficients y compris le terme constant sont extraits de E₀ et qui admet cet entier relatif pour racine.
Par exemple à partir de E₀ = {0,3}, on peut ajouter ‒ 1 qui est racine de P(x) = 3x + 3 = 0, le coefficient 3 étant extrait deux fois de E₀.
E₀ devient ainsi E₁. Le processus se poursuit avec les ensembles E₂,...,E_i.... aussi longtemps qu'on sait trouver un entier relatif qui est la racine d'un polynôme dont les coefficients y compris le terme constant sont extraits de l'ensemble précédemment constitué.
Q₁ Démontrer que le petit poisson E₀ ne devient jamais infiniment grand et que pour un entier n donné,on parvient toujours en un nombre fini k d'étapes à un ensemble final E_k ayant k + 2 éléments. Montrer que k est toujours supérieur ou égal à un entier k₀ que l'on déterminera.
Q₂ A partir du petit poisson E₀ = {0,2016}, déterminer le plus grand nombre possible d'éléments susceptibles d'être ajoutés à E₀.