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Problèmes par thèmes

A. Arithmétique et algèbre

A2. Algèbre élémentaire

A2833. Quadruplets dans N4

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A2833. Quadruplets dans N4

A2. Algèbre élémentaire

Problème proposé par Michel Dufour

Soit l’application f de N⁴ dans N⁴ définie par :
f(x,y,z,t) = (abs(x – y), abs(y – z), abs(z – t), abs(t – x)) où abs(X) désigne la valeur absolue de X.
Pour tout entier n, on note f⁽ⁿ⁾ l’application fofo….of (f composée n fois avec elle-même avec par convention f⁽⁰⁾ = Identité).
Q₁ Démontrer que pour tout quadruplet (x,y,z,t) dans N⁴, il existe un rang n à partir duquel
f⁽ⁿ⁾(x,y,z,t) = (0,0,0,0).
Q₂ Démontrer que pour tout entier n > 0, il existe un élément (x,y,z,t) de N⁴ tel que f⁽ⁿ⁾(x,y,z,t) = (0,0,0,0) et
f^(n-1)(x,y,z,t) ≠ (0,0,0,0).

Solution