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A2. Algèbre élémentaire

Problème proposé par Michel Lafond
On considère les trois suites définies par les relations de récurrence suivantes :
u(n) = 4u(n – 1) – u(n – 2) avec u(0) = 1 et u(1) = 2 pour tout entier n ≥ 2,
v(n) = v(n – 1) + 2v(n – 2) avec v(0) = 1 et v(1) = 1 pour tout entier n ≥ 2,
w(n) = 2w(n – 1) + 3w(n – 2) avec w(0) = 1 et w(1) = 7 pour tout entier n ≥ 2.
Démontrer que les carrés parfaits de la suite u(n) sont les entiers qui apparaissent à la fois dans les suites v(n) et w(n).

Solution