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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A2. Algèbre élémentaire A2896. Permutations polynomiales
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A2. Algèbre élémentaire A2896. Permutations polynomiales
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| A2896. Permutations polynomiales |
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| A2. Algèbre élémentaire |
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On considère les graphes de quatre polynômes distincts p(x),q(x),r(x),s(x) à variables réelles passant par l’origine O et on étudie les positions respectives de ces graphes vus du bas vers le haut de part et d’autre de O.
 Par exemple avec p(x) = ‒ x2, q(x) = ‒ x2 – x3, r(x) = 0 et s(x) = ‒2x3, dans le demi-plan des abscisses négatives et au voisinage de O, on a p(x) < q(x) < r(x) < s(x) tandis que dans le demi-plan des abscisses positives et toujours au voisinage de O, on a q(x) < p(x) < s(x) < r(x). En d’autres termes en attribuant un numéro d’ordre à chacun des polynômes, l’ordonnancement (1,2,3,4) à gauche de l’origine devient (2,1,4,3) à droite de l’origine. On dit alors que la configuration (1,2,3,4) → (2,1,4,3) est possible. Q1 Prouver qu’il est impossible d’obtenir la configuration (1,2,3,4) → (2,4,1,3). Q2 Pour les plus courageux : dénombrer parmi les 4! = 24 permutations (i, j, k, l) des graphes, celles p,
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