A2. Algèbre élémentaire
|
Soit la matrice 3 x 3 :
Pour tout vecteur dont les composantes x, y, z sont des entiers, soit le vecteur V1 = D(V0) = │A.V0│dans lequel on prend les valeurs absolues de chacune des trois composantes du produit de la matrice A et du vecteur V0. Par exemple, avec l’écriture horizontale des composantes de V0 : (1,2,4), on obtient successivement V1= D(V0) = │(‒8,‒9,‒10)│ = (8,9,10), puis V2 = D(V1) = (5,5,5) et V3 = D(V2) = (0,0,0).
On dit alors que A a dévoré V0 en trois bouchées. Q1 Déterminer un vecteur V0 que la matrice A dévore en sept bouchées. Q2 Déterminer un vecteur V0 que la matrice A dévore en dix bouchées. Q3 Pour les plus courageux : est-il vrai que quel que soit le vecteur V0, la matrice A dévore ce vecteur en un nombre fini de bouchées ?
Olivier Pasquier de Franclieu, Benjamin Delay, Claude Felloneau, Pierre Henri Palmade, Kee-Wai Lau, Gaston Parrour, Daniel Collignon, Thérèse Eveilleau, David Draï, Stan Wagon ont résolu le problème. Ce problème est une application des matrices et des suites de Ducci. On pourra lire avec intérêt les trois articles suivants:
Ducci01, Ducci02 et Ducci03
|