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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

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A291 De la bataille de Marignan à 2008 Imprimer Envoyer
A2. Algèbre élémentaire

calculator_edit.png  

Une séquence infinie est définie par :
- son premier terme x1 = 2008/1515 qui est le rapport du millésime de l'année en cours à l'année de la bataille de Marignan.
- la relation xn+1 = xn + 1/[xn] dans laquelle [xn] désigne la partie entière par défaut de xn.
Montrer qu'il existe au moins un nombre entier dans cette séquence. Déterminer le premier nombre entier qui apparaît et la valeur correspondante de n.
Généralisation avec p/q > 1 , p et q nombres entiers premiers entre eux. Démontrer qu'il existe au moins un nombre entier dans la séquence.

Source : d'après Olympiades russes de mathématiques 2007

Solution
 
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