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Plus de 3000 récréations et problèmes mathématiques !

Ce site a été créé en souvenir de DIOPHANTE, mathématicien grec, qui nous a laissé de remarquables ouvrages d'arithmétique. L'objectif est de constituer une vaste bibliothèque de problèmes mathématiques avec les énoncés et les solutions classés par thèmes et selon leur niveau de difficulté et de proposer chaque mois plusieurs problèmes à la sagacité des lecteurs qui ont toute latitude pour envoyer leurs réponses.

Avertissement

Tous les problèmes sont identifiés par un niveau de difficulté :

Très facile

Facile

Moyen

Difficile

Très difficile

Variable

 

D'autre part, les problèmes se traitent généralement à la main et sont alors repérés par l'icône

 

Pour faciliter leur résolution, l'ordinateur peut être utile. Dans ce cas, vous verrez apparaître aussi cette icône

 

Quand l'ordinateur est indispensable, l'icône figure seule.

 

Pour avoir accès aux solutions de chaque problème, cliquez sur solution.

 

Les figures et les graphes ont été réalisés grâce au logiciel Declic.

Avertissement
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A318. Les nombres monotones Imprimer Envoyer
A3. Nombres remarquables
calculator_edit.png  

Trouver l'ensemble des entiers naturels N dont les chiffres et ceux de N2 dans la représentation en base 10 sont dans un ordre non décroissant de gauche à droite.

 

Même question avec un ordre non croissant des chiffres lus de gauche à droite.


Solution

Jean Moreau de Saint Martin a résolu le problème.
Des universitaires américains ont conjecturé lors d'un séminaire qu'une base b a des solutions en nombre infini si et seulement si b-1 est divisible par le carré d'un nombre premier. Les chiffres d qui se répètent sont de la forme 0<d<b-1 avec d2 divisible par b-1. Cette conjecture reste à démontrer. On pourra se reporter aux pages 9 à 22 du fichier disponible à l'adresse suivante : http://www-csfaculty.stanford.edu/~knuth/papers/cs1055.pdf


 
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