Un nombre est dit équilibré s’il s’écrit sous la forme d’un produit d’un nombre pair de facteurs premiers pas nécessairement distincts. Par exmple 26 = 2 x 13 et 49 = 7 x 7 sont des nombres équilibrés. A l’inverse 31 et 50 =2 x 5² ne le sont pas.
On considère le trinôme quadratique P(x) = x²+(a+b)x + ab dans lequel a et b sont des entiers naturels positifs.
Q₁ Trouver les entiers a et b distincts de somme minimale tels que les douze nombres P(1),P(2)...,P(12) sont tous équilibrés.
Q₂ Démontrer qu’on sait trouver deux entiers a et b distincts tels que les n nombres P(k) pour k = 1 à n sont tous équilibrés.
Q₃ Démontrer que si P(n) est équilibré quel que soit l’entier n, alors a = b.