Soit un entier impair k > 1 fixé à l’avance. Un entier positif n > 1 est dit « soluble » avec l’entier k si à partir du nombre 1, on peut l’obtenir à l’aide des opérations suivantes :
- la première opération est au choix une addition (+) ou une multiplication (x) et les opérations suivantes sont des multiplications ou des additions en alternance.
- dans chaque addition et dans chaque multiplication, on choisit l’entier 2 ou l’entier k.
A contrario, l’entier n est dit « insoluble » avec l’entier k.
Par exemple :
- l ’entier 70 est soluble avec l’entier k = 5 selon l’enchaînement : 1 + 5 = 6, 6*2 = 12, 12+ 2 = 14, 14 *5 = 70.
- l’entier 11 est insoluble avec l’entier k = 7. L’antécédent de 11 est nécessairement 4 ou 9 avec les additions 4 + 7 = 11 et 9 + 2 = 11 ; l’entier 9 n’a pas d’antécédent possible avec la multiplication par 2 ou par 7 et l’entier 4 a pour seul antécédent 2 tel que 2*2 = 4; l’entier 2 n’a pas d’antécédent avec l’addition car 1+2 = 3 > 2.

Q₁ Avec k = 3, dénombrer tous les entiers insolubles.
Q₂ Prouver que 2015 est soluble avec 5 valeurs de k choisies parmi {3,5,7,9,11,13,15}
Q₃ Démontrer que si k ≥ 9 , il y a une infinité de nombres n insolubles avec k.