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Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A3. Nombres remarquables A381. Les amplificateurs
Problèmes par thèmes A. Arithmétique et algèbre A3. Nombres remarquables A381. Les amplificateurs
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| A381. Les amplificateurs |
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| A3. Nombres remarquables |
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Problème proposé par Raymond Bloch
Un entier k strictement supérieur à 1 est appelé amplificateur d’ordre n ≥ 2 s'il existe n entiers positifs a1,a2,..,an pas nécessairement distincts tels que le produit (a1 + 1).(a2 + 1)…(an + 1) vaut k fois le produit de ces n entiers a1a2..an A contrario, l'entier k est dit ordinaire. Q1 Démontrer que pour tout n ≥ 2, les amplificateurs d’ordre n sont en nombre fini. Déterminer en fonction de n le plus petit d’entre eux kn ,le plus grand d’entre eux Kn et pour n ≥ 5, les cinq plus grands d’entre eux. Q2 Pour n prenant respectivement les valeurs 2,3,4 et 5, calculer la somme des amplificateurs d’ordre n et déterminer le plus petit entier ordinaire > 1  Michel Lafond,Pierre Henri Palmade,Daniel Collignon,Paul Voyer,Raymond Bloch et Michel Boulant ont résolu tout ou partie du problème. |
