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A. Arithmétique et algèbre

A3. Nombres remarquables

A384. Les égalisateurs

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A384. Les égalisateurs

A3. Nombres remarquables

Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers obtenus en multipliant p et q par n,pn et qn,ont le même nombre de diviseurs.
Q₁ Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur de :
1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]
Q₂ Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].

Solution